線性規劃模板(10篇)

導言：作為寫作愛好者，不可錯過為您精心挑選的10篇線性規劃，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內容能為您提供靈感和參考。

篇1

線性規劃的研究內容可歸納為兩個方面：一是系統的任務已定，如何合理籌劃，精細安排，用最少的資源（人力、物力和財力）去實現這個任務；二是資源的數量已定，如何合理利用、調配，使任務的完成數最多.

“線性規劃”在知識的整合、解題思路的拓展、方法的遷移等方面都有其鮮明的特點，有著豐富的思想內涵. 挖掘題中條件，不失時機地運用“線性規劃”的思想方法解題，將使我們觀察思考問題的立意更高，視野更加開闊.

“線性規劃”問題的教學現狀

在中學教材中，稱求目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題為線性規劃問題. “線性規劃”的教學分為三個層次：

（1）二元一次不等式表示的平面區域；

（2）二元一次不等式組表示的平面區域；

（3）線性目標函數在約束條件下的最值.

只含有兩個變量的簡單線性規劃問題可用圖解法來解決.

例如：設實數x，y滿足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，則z=2y-x+4的最大值是__________.

上述問題可轉化為一個平面區域與一條直線在有公共點的前提下，結合z的幾何意義來求解.

具體教學過程中，學生感覺有困難的部分是作圖環節，體現在速度慢，不夠準確. 如何準確有效地作出所需圖形，應給予學生充分的指導、訓練和體驗. 學生作圖時會出現過于細致的問題，如逐步描繪坐標系刻度；又或出現過于輕率的問題，連圖形的形狀和基本特征都無法抓住.這兩個問題都使解題的速度和準確性大打折扣.

當然，線性規劃是一個比較深入的課題，教材中也介紹了更多變量的線性規劃問題，可引導學生進一步學習.

線性規劃問題的考查特點與趨勢

1. 轉化成基本線性規劃問題

常規考題考查知識與技能，但還需要學生有一定的轉化和化歸意識，命題者會在行文敘述、符號變化、算式特征等方面設置一定障礙，需要解題者對得到的信息加工出熟悉的數學模型.

例1 （江蘇2013年9題）拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為D（包含三角形內部和邊界）. 若點P（x，y）是區域D內的任意一點，則x+2y的取值范圍是__________.

分析：本題以拋物線的切線為背景，以文字敘述的方式提供了可行區域，題中曲線切線利用導數可得.

解決：求導得y′=2x，切線方程為y=2x-1 ，轉化為等價的基本問題：約束條件為x≥0，y≤0，y≥2x-1，目標函數z=x+2y. 作出圖形，易知z的取值范圍為-2，.

例2 設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是__________.

分析：如何將其化歸成基礎問題，找到未知問題和基本題之間的橋梁是破解的關鍵.

解法一：整體代換，令xy2=m，=n，

那么==，轉化為等價問題：約束條件為3≤m≤8，16≤N≤81.目標函數為z=，z幾何意義為對應區域內動點與坐標原點連線的斜率，易得最大值為27.

解法二：將除法轉變為和或差，題中代數式兩邊都取以2為底的對數，令log2x=A，log2B=y. 轉化為等價問題：約束條件為log23≤A+2B≤3，2≤2A-B≤2log23，目標函數為z=3A-4B，可行區域如圖，容易求得z的最大值為3log23，那么=2z的最大值是27.

圖2

點評：解法一采用了整體換元，解法二采用了取對數化積為和、化除為差，通過轉化和化歸轉化成已經解決過的基本問題.

2. 線性規劃問題的拓展延伸

（1）線性規劃問題中目標函數的拓展

熟悉線性規劃基本題還遠遠不夠，深刻把握它的數學特點和數學思想，在實際處理問題中將未知問題轉化為基本題才更重要. 那么該類問題的基本特點是什么，常見問題是什么？只有清楚這些，我們才能在實際處理過程中及時、敏銳地轉化問題，達到解決問題的目的.

以下提供最常見的基本類型；

約束條件：實數x，y滿足y≤x，y≥0，2x-y≤2，可行區域如圖3.

圖3

目標函數（1）：z=3x+y的最大值是__________，z的幾何意義即直線y=-3x+z的縱截距；

目標函數（2）：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區域內動點P（x，y）與點（-1，0）所連直線的斜率；

目標函數（3）：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區域內動點P（x，y）與點（0，1）之間的距離.

與線性規劃相關的問題普遍具有一些基本特征，主要表現為已知條件是含“雙變量”的不等關系，目標任務為代數式的最值或取值范圍問題. 可解決的目標函數也不一定是線性代數式，可以為其他類型.常見的可以為乘積或比值形式、二次或根式形式，甚至可以用向量等給出的代數式. 也不一定拘泥于目標函數的最值問題，也可成為以可行區域為背景的面積、向量、概率等問題.

（2）線性規劃問題中約束條件的拓展

我們可以將它的數學思想拓展得更寬. 約束條件不一定要是線性約束條件，相應的平面區域也可以為直線、圓、曲線等構成的復合形態.

例如：實數x，y滿足x2+y2=1，則x+y的最大值是__________.

此題可行區域可認為是圓，可視為曲線圓與直線x+y=m有公共點. 由此看來，約束條件的給出有了更大的空間，線性規劃這個知識點也更容易滲透到其他數學知識點中.

例3 若a>0，b>0且+=1，則a+2b的最小值為__________.

分析：題目涉及兩個變量的等量關系，可以考慮減元處理，已由代數式整理得a=-b++1，結合基本不等式解決a+2b的最小值；也可以考慮其幾何意義，視作以b為自變量的函數，那么P（b，a）為函數圖象上的每一個點.

圖4

解決：a=-b++1，令z=a+2b，z表示此直線的縱截距.當直線與曲線相切時z最小，此時a′=-2.求導a′=-1-，所以b=，a=-++1=+，所以a+2b=+.

例4 （江蘇2012年14題）已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是__________.

分析：此題和基本問題的相似度極高，已知條件含有3個變量，而且目標函數為比值形式，有明確的幾何意義. 由代數式clnb≥a+clnc的邏輯計算知ln≥，由此得到轉化的突破口，可轉化為兩個變元.

圖5

解決：已知兩個不等式同除c得到5-3≤≤4-，ln≥.記=x，=y，

轉化為等價問題：

約束條件為x，y>0，5-3x≤y≤4-x，lny≥x？圳y≥ex，目標函數k==.

作出圖形，利用導數求出曲線y=ex過坐標原點的切線為y=ex，發現切點T（1，e）在可行區域內. 綜上，直線y=kx過C點時k最大，與曲線y=ex相切于點T時k最小. 所求取值范圍為[e，7].

圖6

點評：三變量的問題轉化為兩變量問題，該問題的解決具有一定的代表性.由已知代數式還可以考慮同除a或b進行轉化，不是每一個轉化都適合，但有些轉化又是相通和可行的，因此求解時需要一定的嘗試和觀察.

3. 線性規劃問題的知識遷移

有些數學問題并無明顯的線性規劃痕跡，卻也可以轉化成線性規劃的基本問題，比如解析幾何、函數、數列等含有多個變量的數學問題可采用線性規劃的方法來求解. 以下試題立足于課本，但高于課本，題目充分體現了命題教師的高瞻遠矚，而反過來又對高中的教學提出更高要求.

例5 （江蘇2011年14題）設集合A=（x，y）≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R，B={（x，y）2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，則實數m的取值范圍是__________.

分析：兩集合為點集，交集非空.思考難度超越課本，類比線性規劃，將其轉化為兩個平面區域有公共點，同時本題的計算量大.

解決：集合A對應區域為D1，集合B對應區域為D2，D2容易認識為兩平行直線確定的帶狀區域. 由區域D1非空可知m2≥，求得m≤0或m≥.

（1）m=0區域D1收縮為一點，容易判斷不滿足要求；

（2）m≠0區域D1又分為兩種情況，當m0時表示兩個同心圓確定的環形區域.不論哪種情況，要滿足題意，只需要保證圓（x-2）2+y2=m2和直線x+y=2m或直線x+y=2m+1其中之一有公共點. 圓心到兩直線距離分別為d1和d2，且d1=，d2=. 所以d1≤r=m或d2≤r=m，容易解得m∈1-，2+，綜合以上分析，實數m的取值范圍是，2+.

點評：問題描述采用了幾何語言，解決思路和線性規劃有類似之處，同時解析幾何背景很強，充分考查了直線和圓的位置關系，而且分析時利用分類討論細化，處理時又不討論集中解決，思維跳躍度很大.

例6 已知a，b為常數，a≠0，函數f（x）=a+ex. 若f（2）

分析：此題僅僅從表象上看到已知條件對變量a，b作了限制，與線性規劃知識點的相關性相當隱蔽. 該題目變量的關系相互依賴性較強，關鍵從已知條件合理的抽離出最有效約束條件.

圖7

解決：由f（2）

點評：g（x）=ax2+bx-b≥0恒成立分析較難，考慮不等式成立的必要條件攻克了這個難點，根據代數式的依存關系得到約束條件，畫出圖形，所求面積視為兩個三角形面積差.

以上可以看出這些問題和教材中很多知識點綜合，都需要學生具備良好的知識遷移能力. 包括高考在內的眾多考題都或多或少地含有線性規劃知識或思想的若干部分，這樣的考題都具備一定的難度，成為命題的熱點題型，在考試中層出不窮.

篇2

線性規劃是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支,它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法.在經濟管理、交通運輸、工農業生產等經濟活動中,提高經濟效果是人們不可缺少的要求,而提高經濟效果一般通過兩種途徑:一是技術方面的改進,例如改善生產工藝,使用新設備和新型原材料.二是生產組織與計劃的改進,即合理安排人力物力資源.線性規劃所研究的是:在一定條件下,合理安排人力物力等資源,使經濟效果達到最好.一般地,求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統稱為線性規劃問題.滿足線性約束條件的解叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域.決

策變量、約束條件、目標函數是線性規劃的三要素.而此類問題在課本中已經有了很多體現,在此筆者不再贅述.本文中,筆者想敘述線性規劃應用的一種情況,就是用線性規劃的方法解決一類概率問題.此類概率問題一般是幾何概率的問題.

請看下面兩例:

例1.甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面,并約定先到者應等候另一人一刻鐘,過時即可離去.求兩人能會面的概率.

稍加分析我們不難發現,本題中顯然不是一個變量,而是兩個變量,即甲、乙各自到達約會地點的時間,所以可以假設兩個變量.那么可以在平面直角坐標系內用x軸表示甲到達約會地點的時間,y軸表示乙到達約會地點的時間,用0分到60分表示6時到7時的時間段,則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點的坐標(x,y)就表示甲、乙兩人分別在6時到7時時間段內到達的時間.而能會面的時間由x-y≤15

所對應的圖中陰影部分表示.

反思說明:

(1)三角形三邊長度都是在0到l之間,故每一對結果對應三條邊長,分別用x,y軸上的數表示,則每一個結果(x,y)就對應于圖中三角形內的任一點;

(2)找出事件A發生的條件,并把它在圖中的區域找出來分別計算面積即可;

(3)本題的難點是把三條邊長分別用x,y兩個坐標分別表示,構成平面內的點(x,y),從而把邊長是一段長度問題轉化為平面圖形中的線性規劃問題,轉化成面積為測度的幾何概型的問題.

但是對于類似問題我們一定要注意是否是以面積為測度的概率問題,有些仍然是古典概率,如下例:

例3.如下圖,從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高,測量發現被測學生身高全部介于155cm和195cm之間,將測量結果按如下方式分成八組:第一組[155,160)、第二組[160,165)、……第八組[190,195),下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第一組與第八組人數相同,第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列.若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生,記他們的身高分別為x、y,求滿足x-y≤5的事件概率.

篇3

常規的線性規劃問題求最優解，要明確線性規劃問題求解的基本步驟，即在作出可行域，理解目標函數z的意義的基礎上，通過平移目標函數所在直線，最終尋求最優解.

例1 （2015年陜西）某企業生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料.已知生產1噸每種產品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業每天可獲得最大利潤為（ ）.

A.12萬元 B.16萬元 C.17萬元 D.18萬元

甲乙原料限額A（噸）3212B（噸）128

解析 設該企業每天生產甲、乙兩種產品分別為x、y噸，則利潤z=3x+4y，

由題意可列3x+2y≤12，

x+2y≤8，

x≥0，

y≥0，該不等式組表示的平面區域如圖1所示陰影部分：

圖1

易知目標函數z=3x+4y所在直線y=-34x+z4過點A（2，3），即x=2，y=3時，z取得最大值，zmax=3×2+4×3=18，故選D.

實際問題涉及的線性規劃問題求解，不同于純數學形式的線性規劃問題，尤其最優解，要遵循實際問題所在的意義.類似教材中鋼板張數，人力資源分配，車輛配備等問題要尋求最優整數解等，都不同于一般的數學求實數解問題，這在求解過程中尤其注意.

練習 （2015年天津）設變量x，y滿足約束條件x+2≥0，

x-y+3≥0，

2x+y-3≤0，則目標函數z=x+6y的最大值為（ ）.

A.3 B.4 C.18 D.40

（答案C.）

2 線性規劃問題中的參數求解

在線性規劃問題中，常常遇到借助于不等式組，或者目標函數設置一些參數，利用已知的目標函數z的最值，來求出參數值的題目.這類線性規劃問題的求解，方法上仍要遵循線性規劃問題的求解步驟，但在求解中涉及到分類討論，數形結合等數學思想.

例2 （2015年山東）已知x，y滿足約束條件x-y≥0，

x+y≤2，

y≥0. 若z=ax+y的最大值為4，則a=（ ）.

A.3 B.2 C.-2 D.-3

圖2

解析 由z=ax+y得y=-ax+z，借助圖形2可知：

當-a≥1，即a≤-1時，在x=y=0時有最大值0，不符合題意;

當0≤-a<1，即-1<a≤0時，在x=y=1時有最大值a+1=4，a=3，不滿足-1<a≤0;

當-1<-a≤0，即0<a≤1時，在x=y=1時有最大值a+1=4，a=3，不滿足0<a≤1;當-a<-1，即a>1時在x=2，y=0時有最大值2a=4，a=2，滿足a>1;故選B.

本例中參數a在目標函數所在直線方程中的意義與斜率有關，即直線的斜率k=-a，故如何利用條件中的函數最大值4求參數a成為解題關鍵，或者說目標函數所在直線經過不等式組所示區域的哪一點取到最大值成為參數a分類討論的依據.

3 非線性目標函數的最值求解

在線性規劃問題中，我們常常會遇到一些非線性目標函數的求解問題.

例3 （2015年四川）設實數x，y滿足

2x+y≤10，

2+2y≤14，

x+y≥6，

則xy的最大值為（ ）.

A.252 B.492

C.12 D.14 圖3

解析 不等式所示平面區域如圖3，

當動點（x，y）在線段AC上時，此時2x+y=10，據基本不等式知道，非線性目標函數z=xy=12（2x?y）≤12（2x+y2）2=252，當且僅當x=52，y=5時取等號，對應點落在線段AC上，故最大值為252，選A.

本例中，目標函數z=xy，借助于直線方程2x+y=10，通過變形xy=12（2x?y）聯想到不等式2x?y≤（2x+y2）2，從而找到目標函數xy的最優解.類似非線性目標函數x2+y2，y-bx-a等形式都要在理解函數意義的基礎上尋求最優解.

練習 （2015年新課標卷）若x，y滿足約束條件x-1≥0，

x-y≤0，

x+y-4≤0， 則yx的最大值為 .

（答案3.）

4 線性規劃問題的綜合運用

有些數學問題如果轉化為線性規劃問題會得到簡捷的解法，當然這要求對問題有著較深刻的理解，要善于利用轉化和劃歸思想轉化為線性規劃問題.

例4 （2015年浙江理科）若實數滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 .

解析 條件x2+y2≤1表示圓x2+y2=1及其內部，易得直線6-x-3y=0與該圓相離，故|6-x-3y|=6-x-3y，設函數z=|2x+y-2|+|6-x-3y|，

當2x+y-2≥0時，則x2+y2≤1，

2x+y-2≥0，所示平面區域如圖4所示，可行域為小的弓形內部，易知目標函數z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，

故目標函數z=x-2y+4所在直線y=12x-z2+2過點A（35，45）時z最小，即x=35，y=45時，zmin=4;

圖4

當x-2y+4<0時，z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域為大的弓形

內部，同理可知目標函數z=8-3x-4y所在直線y=-34x-z4+2過點A（35，45）時z最小，當x=35，y=45時，zmin=4.

篇4

一、面積問題

1、(全國卷)在坐標平面上,不等式組y≥x-1y≤-3x+1所表示的平面區域的面積為_________。

解析:原不等式組去掉絕對值后轉化為兩個不等式組,畫出平面區域,根據三角形面積公式求得答案。

二、最值問題

2、(全國卷)若x,y滿足約束條件x+y≥0x-y+3≥00≤x≤3則z=2x-y的最大值為____________。

解析:z=2x-y的幾何意義是斜率為2的直線的縱截距的相反數,在坐標平面上畫出可行域,可得結果。

x,y滿足x-y-2≤0x+2y-4>02y-3≤0則的最大值是________。

3、(江西)設實數

解析:在坐標平面上畫出可行域z==的幾何意義是兩點O(0,0)A(x,y)連線的斜率,畫圖可知,在點(1, )時z最大,故所求最大值為。

4、教材第二冊(上)第99頁 第5題

解析:由問題的形式聯想到兩點間距離公式,從而利用線性規劃的思想去解決。上述幾題中的約束條件是以不等式的形式出現,有時以方程形式給出,如教材第二冊(上)第99頁 第6題

方法提煉:

①解決線性規劃問題,首先找到線性約束條件,畫出可行域;線性約束條件可能是關于x、y的不等式(組)或方程(組)。

篇5

這個參數往往與直線的斜率有關系，并且已知最優解，因此解題時可充分利用斜率的特征加以轉化。

1.目標函數中的系數為參數

例1、(2009年陜西理11)若x，y滿足約束條件x+y?叟1x-y?叟-12x-y?燮2，目標函數z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是（ ）

A. (-1,2) B. (-4,2) C. (-4,0) D.(-2,4)

分析：明確a的幾何意義，與直線的斜率有關，根據圖形特征確定怎樣才能保證僅在點（1，0）處取得最小值。

解：作出約束條件所形成的區域圖形，目標函數化成y=-■x+■，則斜率k=-■，截距為■，要使截距最小，則-1

2.目標函數中的系數為參數

例2 (2006湖北理) 已知平面區域D由以A(1，3)，B(5，2)，C(3，1)為頂點的三角形內部和邊界組成，若在區域D上有無窮多個點(x，y)可使目標函數z=x+my取得最小值,則m=（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.4

分析：最優解有無窮多個，往往是指目標函數與其中一條直線重合，此外要注意到參數為或的系數上的不一致。

解：要使目標函數z=x+my的最優解有無窮多個，則直線z=x+my應與直線AC或AB，BC重合，但要使目標函數Z=X+my取得最小值，必須使得函數斜率為負值，且斜率的絕對值要大，從而只能與直線AC重合，則-■=kAC=-1，所以m=1，選C。

3.目標函數中x,y的系數均為參數

例3 (2009年山東理12) 設x，y滿足約束條件3x-y-6?燮0x-y+2?叟0x?叟0,y?叟0，若目標函數z=ax+by，(a>0,b>0)的值是最大值為12，則■+■的最小值為( )。

A.■ B.■ C.■ D. 4

分析：本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區域,并且能夠求得目標函數的最值,對于形如已知2a+3b=6,求■+■的最小值常用乘積進而用均值不等式解答。

解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分,當直線z=ax+by(a>b,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點A(4,6)時,目標函數z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,4a+6b=12,即2a+3b=6,而■+■=(■+■)■=■+(■+■)?叟■+2=■,故選A。

二、約束條件中含有參數

約束條件中某一個約束條件含有參數，意味著約束條件是變動的，這種變動導致了目標函數最值的變動。

1.已知目標函數最值，求參數的值

例4 （2010年浙江理7）若實數，滿足不等式組x+3y-3?叟0，2x-y-3?燮0，x-my+1?叟0，且z=x+y的最大值為9，則實數m=（ ）。

A.-2 B.-1

C.1 D.2

分析：已知目標函數的最值求參數的值，關鍵是找到最優解，代入到目標函數中，求出參數的值。

解：不等式組表示的平面區域如圖中陰影所示，把目標函數化為y=-x+z，則當直線y=-x+z過A點時z最大，由2x-y-3=0，x-my+1=0，得到A(■，■)，代入目標函數得■+■=9，所以m=1。

2.已知目標函數最值范圍，求參數的范圍

例5 (2011年高考湖南卷理科7)設m>1，在約束條件y?叟xy?燮mxx+y?燮1下，目標函數Z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為

。

分析：本題關鍵是理解參數的幾何意義是直線的斜率，找到關于m的一個不等式。

篇6

1． 當變量x，y滿足約束條件x≥0，y≤x，2x+y+k≤0時（k為常數），能使z=x+3y的最大值為12的k為（）

3． 如果實數x，y滿足條件x－y+1≥0，y+1≥0，x+y+1≤0，那么2x－y的最大值為（）

A． 2?搖?搖?搖?搖?搖?搖 B． 1 ?搖?搖 C． －2?搖 ?搖?搖?搖?搖?搖D． －3

4． 已知2x+y－2≥0，x－2y+4≥0，3x－y－3≤0，則x2+y2的最大值與最小值分別是（）

A． 13，1 B． 13，2

5. 已知三點A（x0，y0），B（1，1），C（5，2）.如果一個線性規劃問題的可行域是ABC的邊界及其內部，線性目標函數z=ax+by在點B處取得最小值3，在點C處取得最大值12，則下列關系成立的是（）

A. 3≤x0+2y0≤12

B． x0+2y0≤3或x0+2y0≥12

C． 3≤2x0+y0≤12

D． 2x0+y0≤3或2x0+y0≥12

7． 在約束條件x≥0，y≥0，y+x≤s，y+2x≤4下，當3≤s≤5時，目標函數z=3x+2y的最大值的變化范圍是_______．

以上題目從多角度考查了線性規劃的相關知識，同學們只要抓住解線性規劃題的本質就不難解決．

1. 首先要能正確畫出可行域（可借助特殊點法來確定二元一次不等式表示的區域）；

2. 然后利用平移法找到所要求的最值（可借助直線的斜率來幫助判斷最值點），此外還要注意目標函數的幾何意義（除了通常的截距外還可能轉化為兩點間距離，斜率等）；

3. 最后在解實際問題時一定要仔細讀題，然后根據條件列出線性約束條件和目標函數，這以后的步驟就用1、2兩點的方法來解決．

同學們在解此類題目時，不管題目如何變化，只要按照所講的步驟一步步進行下去，這些問題都會迎刃而1． B

2． A

3． B

篇7

1數學模型

線性規劃問題通常表示成如下兩種形式:標準型、規范型。

設jj(2…，n)是待確定的非負的決策變量；認2…，n)是與決策變量相對應的價格系數；K2…mj=l2…n)是技術系數；b(i12…，m)是右端項系數；

線性規劃是運籌學最基本、運用最廣泛的分支，是其他運籌學問題研究的基礎。在20世紀50年代

到60年代期間，運籌學領域出現許多新的分支：非線性規劃（nonlinearprogranming、商業應用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)隨機規劃（stochasticPKgiamniig)、整數規劃(ntegerprogramming)、互補轉軸理論（amplmentaiyPivotheor)多項式時間算法（polynomialtjneagatm)等。20世紀70年代末，上述分支領域都得到了極大發展，但是卻都不完善。而且數學規劃領域中存在許多Nfkhard問題，如TP問題，整數規劃問題等。這些問題的基本模型都可以寫成線性規劃形式，因此通過對線性規劃算法的進一步研究，可以進一步啟發及推動數學規劃領域內其他分支的發展。

2邊界點算法

由于單純形法與基線算法都是在可行集的邊界上取得最優值，故合稱單純形法與基線法為邊界點算法。單純形法是線性規劃使用最早也是目前實際應用中最流行和求解新型規劃問題最有效的算法之一。它實施起來相當簡單特別對中小規模問題效果顯著。單純形法最早是由Damzg于1947年夏季首先提出來的。1953年Dantzig為了改進單純形法每次迭代中積累起來的進位誤差，提出改進單純形法12。1954年美國數學家CELmH3針對對偶問題提出一種在數學上等價于用改進單純形法求解的對偶線形規劃。1974年CuretN41提出了求解一般線性規劃問題的原對偶單純形法，該算法與對偶單純形法類似，但是原對偶單純形法允許我們從一個非基礎對偶可行解開始算法求解。

1972年Klee等舉例證明了單純形算法的時間復雜性有可能是指數型。1973年，Jeoslowoi和Zdeh7又分別進一步指出常用的對偶單純形法、原一對偶單純形法等都是指數級的。

這就讓人們產生兩個疑問:①是否存在單純形法的某種改型，用它求解線性規劃問題是多項式時算法。

對于問題①，研究者們對單純形法采用了一系列改進技術如數據的預處理方法、更好的退化性處理、更好的局部價格向量計算、原一對偶最速下降邊算法的應用、更快和更穩定的矩陣分解、更好的Cach存貯的應用、以及階段1和階段2的組合算法等。但是仍未能從理論上證明線形規劃算法是多項式時間的。

近年來國內也出現了一批致力于線形規劃算法研究的學者，但是國內學者的研究主要集中在對單純形法的突破研究上，如基線法|8_'最鈍角原理1111等。

最鈍角及投影主元標算法都是針對單純形算法存在退化現象就如何選擇最優入基、離基做出的一系列研究及改進。退化現象是單純形法一直以來需解決的難題，為了克服退化問題許多學者提出了有限主元規則：擾動法、字典序規則、Blad規則1171等，其中Bind規則由于其簡單而備受關注，但是這些有限主元規則的實際應用方面并不令人滿意，甚至都不能和Dantzg規則相比。1990年，潘平奇教授在文獻[11]給出了線性規劃問題最優基的一個啟發式刻畫特征:最鈍角原理。最鈍角原理是引人反映目標梯度與約束梯度夾角大小的“主元標”乍為確定變量進基優先性的依據，潘教授的數值試驗11819表明此規則明顯優于Bland規則。然而潘的方法僅適用于只含不等式約束的線性規劃問題。為便于求解標準線性規劃問題，許多學者在其基礎上又提出了對偶主元標法。由于對偶主元標法是利用嚴格互補松弛來推導過度的，針對這一問題，又有學者提出了投影主元標法。

除此之外還有一系列最鈍角原理在非人工變量兩階段算法1M21及虧基情況下的應用研究。這些研究表明，最鈍角原理是克服單純形法退化的一種有效方法。

基線算法的概念是1996年阮國楨教授提出來的1891，這種算法是單純形法的發展，名字由來一方面是相對單純形法（基點法）提出，另一方面是使用

基線算法的主要思想是：

其中疋FTX1;eRbERm為一個m階單位矩陣。n是問題的維數，m是約束個數。把目標函數v=ff作為一個約束，看作參數。

Stef!以任意：>0所對應的變量作為進基變量，則x所在的列與單位矩陣一起構成了一個可行基B改寫八=[N馬，相應地改寫X為[xrxo’，x為非基變量，x為基變量。于是方程組AX=[vb’可以寫成Nx+Bx^Evl]’=a0+^0VStep求B1，以B1左乘，得B^1N^N+3B=B1[v]’=礦a0+B1⑷v

(2.1)

令a=B1a。，p=B-1仏則式（21河寫作

Sep對任意巨{01，…，m}，令aA^vs0

計算出當前基線表對應的可行值區間[J-”。若h

…，n-L貝IJv為最優值，或者轉SteP4

Sep旋轉基表，更新BaP旋轉基表時通常只使用有限軟上界行的負可旋主元。對于負可旋主元的選擇主要實現方法有：最大負主元算法[221，行列最好主元算法[231,保硬主元算法[24251等。

基線算法操作簡單迭代次數少，求解速度快。相對單純形法來說，單純形法最多能搜索與當前極點相鄰的n個極點，而基線算法能搜索11個二維面，這是基線算法能夠快速求解LP問題的關鍵所在。

發展至今，基線算法已有其對偶算法[271，群部分算法['目標規劃[29301,錐上算法[311等一整套的理論基礎和一系列具體的快速實現算法12632,圍繞著是否存在著多項式的基線算法，在計算復雜度方面作深入的研究將對線性規劃的發展具有十分深遠的意義。

3割平面法

線性規劃算法中割平面思想的應用主要是指橢球法。1979年Khanchiaii33!改進Yudin和Nan-

ovski等[34]為凸規劃開發的橢球法，獲得了一個求解線形規劃的多項式時間算法:橢球法。對問題②做出了明確回答。不同于單純形法從一個基礎可行解開始迭代，橢球法的特點是求解過程的每一階段都有一個以某一點為中心的橢球，迭代是從一個包含最優解的較大的橢球迭代到包含最優解的較小的橢球直至逼近最優解。

為線性規劃問題式（1.2)的規模。其中，lg]是以2為底的對數，「?]表示剛剛大于括號值的整數。則橢球法的時間復雜度為OML)

Khachiar橢!球法的主要思想是：

根據線性規劃的強對偶定理，線性規劃問題式(1.2)可以轉為下列求可行域問題：

2)從球開始，這個球大到包括式（3l1)的所有可行集X不斷構造一系列橢球，第k次迭代的橢球為Ek檢驗橢球中心&是否滿足約束條件；若滿

足則停止，否則利用割平面球的半橢球$Ek=EH

{aTA構造新的橢球更新橢球Ek+1為包含半橢球的最小體積橢球。按照這種算法下去直到橢球中心位于目標集內，橢球中心即為問題式（31)的解;否則橢球體積太小以至不含問題式（31)的可行解。

由于Khachiarn橢球法從構造包含可行域的大

的橢球出發，初始橢球體積有可能是天文數字，而且KhanCir橢球法利用K-K-T條件將原規劃問題轉

化為可行域求解問題，擴大了求解規模的同時加入了等式約束，使得可行集體積為零。雖然求解時，對等式進行攝動，可行集體積仍然很小。初始橢球體積太大，最終橢球（包含可行集的最小橢球）體積又幾乎為零，算法可能需要經過非常大的迭代步數才能收斂。而且如果對偶問題無界則原問題不可行，因此當計算結果無解時不能判斷是原問題無界呢還是原問題不可行。

不少研究者從加大每次迭代后橢球縮小比出發，提出了許多KhanCirn橢球法的改進算法:深切害J(deepeus)35-37、替代切割（surrogatecuts)381、

平行切割（paUMeus)|39-411等。最新成果是楊德莊等人提出的新的橢球法142,其優點在于引入目標束不等式及目標不等式組成，與原橢球法相比一方面大大縮小了算法求解規模，另一方面擴大了可行集的體積。而且新算法中可行集切割及目標切割交替進行，加速了橢球體積的縮小。不過令人失望的是即使最好的橢球法實施在計算上都難以與已有的單純形法相比。因此，實際中很少作為一般方法使用1431。

然而線性規劃的其他解法如單純形法、內點法都需要從一個基礎解出發，然后確定迭代方向、迭代步長，因此每次迭代都需要計算目標函數和所有約束函數。而橢球法的計算則簡單得多，理論上來說橢球法對于約束條件多的問題更有效。

4內點法

1984年KamarH441提出了一個比Khanchian法好的多項式時間算法的內點法，稱為Kamaikar法。由于該法引用了非線性規劃中的牛頓投影，因此又稱K_aka牧影法。

K_aka袪的提出在線性規劃領域具有極大的理論意義。與橢球法不同，這個新算法不僅在最壞情況下在時間復雜度上優于單純形法，在大型實際問題中也有潛力與單純形法競爭。

這一方法的提出掀起了一股內點法的研究熱潮。鑒于Kamaka?法的難讀性，一些研究學者?對Kamaika袪進行了適度的修改，使其簡便易讀。然而直接用該方法編程解題的測試表明，與目前基于單純形法的商用軟件相比，并沒有明顯的優勢1491。因此很多研究者在Kamarka法的基礎上深入研究并提出了各種修正內點法方法：仿射尺度法，對數障礙函數法，路徑跟蹤法算法等。

仿射比例調節法又分為原（Ptme)仿射比例調節法和對偶（Dua)方射比例調節法。原仿射比例調節法是從原問題出發，用一個仿射變換代替投影變換，把坐標系從一個非負象限不是單純形）映射到其本身。該法1967年由前蘇聯學者Dkii5(0提出，但他的工作直到Bame1]等人再次研究該法后才被 法，另一方面作了完全的收斂性的證明。此外，1989年AdleP等發表了從原問題的對偶問題出發的對偶仿射比例調節法。

1986年G1531等人第一次把用于非線性規劃的對數障礙函數法用于線性規劃，并證明了對數障礙函數法和Kamarka投影法是等價的。以后的研究表明kamaikaf法實際上是廣義對數障礙函數法的一個特殊情形。由于其計算方面的優越性，因此該法得到更多的研究和發展，該法也分為原對數障礙函數法和對偶對數障礙函數法。

原對偶（PrimaDua)各徑跟蹤法，實際上是原對偶障礙函數法，是MeidG19M541年提出的。他將包含對數障礙函數問題的障礙參數的唯一的最優解所構成的曲線稱為一條路徑或中心軌跡，當障礙參數趨近零時，中心軌跡的極限即為原問題的最優解。Kojma55'等最早（1987)提出收斂的算法，之后其他研究者對算法作了進一步的改進。為了找到起始可行解算法都要引進人工變量和附加約束條件，分別以適當的大數作系數和右端值，但算法對這些大數的選擇很敏感易導致算法中數值的不穩定性。因此LustiTi等考慮使這些大數同時變為無窮大時坐標增量的“極限可行方向”該方向只改變了求最優解的方向，并不改變確定軌跡中心的方向，因而問題解法成為不可行問題原對偶牛頓法，其優點是對初始解不必引入人工變量。該法也可用類似形式應用于不可行原問題或對偶問題的方法中[57581。該法還便于處理有界變量問題。然而這個方法的計算復雜性尚未確知，沒有一般收斂的算法的證明。此外，在方法的改進方面，出現了全面收斂不可行內點算法和預計改正法。

勢函數下降法有基于Gezaga等人提出的原勢函數下降法和Ye等人提出的原對偶勢函數下降法,計算復雜性都達到較好指標。前者算法包含了兩個搜索方向，且所有仿射變換方法都采用了最速下降方向。這方面的改進還有Kajmm等的原對偶勢函數下降法等。由于上述勢函數下降法的各種算法是基于一系列嚴格的可行解上，方法都要求說是難以做到的。顯然直接采用不可行內點算法是最好的解決辦法，因而Y，eTOdd和Misunol994年提

出了構建“齊次自對偶問題”的方法，該齊次自對偶問題的解則可以用Kajjna等的原對偶勢函數下降法來解出。

在20世紀90年代內點法理論發展成一個相當成熟的原理。這一時期，對內點法理論的一個主要貢獻來自YENesterov和八SNmirovski兩位數學家[69。他們創建的Self-Cocrdant函數理論，使基于對數障礙函數的線性規劃內點法很容易推廣到更為復雜的優化問題上，如非線性凸規劃、非線性互補、變分不等式、半定優化以及二階錐優化等。目前自協調函數形式主要有：對數函數和商函數形式。

今天，內點法的研究熱點主要轉向于半定優化、半定互補、非凸優化及組合優化問題上。

5自協調函數理論

自協調函數可謂是線性規劃算法研究的一個重大突破，也是我們后續研究的重點。自協調函數理論又名自協調障礙函數理論，為解線性和凸優化問題提供了多項式時間內點算法。根據自協調障礙函數的參數就可以分析內點算法的復雜性。

自協調函數定義：

一個凸函數fR-R對定義域內的任意x滿足Lf"(x)<2f(x3/2,我們就稱它為自協調函數。如果函數(Rn-R對于任意直線滿足自協調條件，我們稱函數§(9是自協調函數。

自協調函數理論的關鍵是算法的復雜性由自協調函數的兩個參數決定，只要這兩個參數可以推導出，則可求得算法的復雜性。

然而目前常用的自協調函數形式只有對數障礙函數形式:負對數函數：f=一Igx及負商函數加上負對數函數：f=xgx^lgP]。

最近CReas等m指出有些內核函數盡管沒有全局自協調性，卻能在局部自協調。而且，CR?s

部值 也可以較好的求得算法的復雜性。基于CRQ0S的思想，金正靜等1711提出了一個局部自協調函數，其形式如下

自協調函數理論的提出，為我們分析算法復雜性帶來了極大的便利。然而以上的自協調函數形式都要求核函數為正，這為我們的研究帶來了極大的限制。那么自協調函數是否存在不要求核函數為正的形式為我們研究自協調函數提供了方向。

6結束語

篇8

A. 1 B. [32]

C. 2 D. 3

2. 若實數[x]，[y]滿足不等式組[x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，]且[x+y]的最大值為9，則實數[m=]（ ）

A. [-2] B. [-1]

C. 1 D. 2

3. 設不等式組[x+y-11≥0，3x-y+3≥0，5x-3y+9≤0，]表示的平面區域為[D]，若指數函數[y=ax]的圖象上存在區域D上的點，則[a]的取值范圍是（ ）

A. [（1，3]] B. [[2，3]]

C. [（1，2]] D. [[3，+∞）]

4. 某公司生產甲、乙兩種桶裝產品.已知生產甲產品1桶需耗[A]原料1千克、[B]原料2千克；生產乙產品1桶需耗[A]原料2千克，[B]原料1千克.每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元.公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗[A]，[B]原料都不超過12千克. 通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）

A. 1800元 B. 2400元

C. 2800元 D. 3100元

5. 在平面直角坐標系[xOy]中，[M]為不等式組[2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0]所表示的平面區域上一動點，則[OM]斜率的最小值為（ ）

A. [2] B. [1]

C. [-13] D. [-12]

6. 已知[a>0]，[x，y]滿足約束條件[x≥1，x+y≤3，y≥a（x-3），]若[z=2x+y]的最小值為[1]，則[a=]（ ）

A. [14] B. [12]

C. [1] D. [2]

7. 某旅行社租用[A]，[B]兩種型號的客車安排900名客人旅行，[A]，[B]兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數不超過21輛，且[B]型車不多于[A]型車7輛. 則租金最少為（ ）

A. 31200元 B. 36000元

C. 36800元 D. 38400元

8. 設變量[x，y]滿足[x+y≤1，]則[x+2y]的最大值和最小值分別為（ ）

A. 1，-1 B. 2，-2

C. 1，-2 D. 2，-1

9. 已知變量[x，y]滿足[2x-y≤0，x-2y+3≥0，x≥0，]則[z=log12（x+y+5）]的最小值為（ ）

A. -8 B. -4

C. -3 D. -2

10. 已知實數[x，y]滿足[y≥0y≤2x-1x+y≤m]，如果目標函數[z=x-y]的最小值的取值范圍是[-2，-1]，則目標函數的最大值的取值范圍是（ ）

A. [1，2] B. [3，6]

C. [5，8] D. [7，10]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 已知[z=2x-y]，式中變量[x]，[y]滿足約束條件[y≤x，x+y≥1，x≤2，]，則[z]的最大值為 .

12. 拋物線[y=x2]在[x=1]處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為[D]（包含三角形內部和邊界） . 若點[P（x，y）]是區域[D]內的任意一點，則[x+2y]的取值范圍是 .

13. 設[P]是不等式組[x，y≥0，x-y≥-1，x+y≤3]表示的平面區域內的任意一點，向量[m=（1，1）]，[n=（2，1）]，若[OP=λm][+μn]（[λ，μ]為實數），則[2λ+μ]的最大值為 .

14. 記不等式組[x≥0x+3y≥43x+y≤4]，所表示的平面區域為[D]，若直線[y=a（x+1）]與[D]有公共點，則[a]的取值范圍是 .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）若變量[x，y]滿足約束條件[3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，]求[z=x+2y]的最小值.

篇9

1.靜態可行域下形如z=ax+by+c截距型線性目標函數的最值

例1（2015年湖南卷）若變量x，y滿足約束條件則z=3x-y 的最小值為（ ）

解析：作出可行域（圖略），作直線l：3x-y=0，平移直線l利用數形結合法求最值。答案：選A

命題點睛 要求考生理解目標函數的意義：把z=3x-y看作一條“動直線”l，觀察其位置，從而確定目標函數取得最值時所經過的點。動中有靜，動直線l牽引出最優解（定點），從而得到z的最小值。

2.動態可行域下形如z=ax+by+c 截距型線性目標函數最值的逆向問題

例2 （2015年福建卷）變量x，y滿足約束條件若z=2x-y的最大值為2，則實數m 等于（ ）

A、-2 B、-1

C、1 D、2

圖1

解析 將目標函數看作動直線l：2x-z=0，當z取最大值時，動直線l縱截距最小。故當m≤0時，不滿足題意;當m>0時，由可行域如圖1所示，其中 是最優解，代入目標函數得：，得m=1。故選C。

命題點睛 以動制靜，動直線l的位置與參數m的符號相互制約，由兩條動直線l：y=2x-z與l1：y=mx牽引出定點B最優解。解含參數的線性規劃問題，要善于從已知的可行域（動態區域）中找出不變的（靜態）區域。困難在于對參數m的符號討論，以確定可行域，往往還要將動直線l的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則找出最優解很容易出錯。思維從靜態到動態模式跳躍式開放性發展，更能考查學生的創新應用能力。

二、一線牽引出非線性目標函數的最值

1.斜率型

例3 （2015年全國卷） 若x，y 滿足約束條件 則的最大值為 。

解析 作出可行域（圖略），由斜率的意義知是可行域內的動點P（x，y）與原點連線的斜率。答案：3

命題點睛 形如型的目標函數，其表示可行域內的動點P（x，y）與定點M（a，b）連線的斜率。將直線PM繞點M旋轉，且確保動點P在可行域內，這樣由動點與定點的連線牽引出斜率的取值范圍。

2.距離型：點點距、點線距

例4 （2016年山東卷） 若變量x，y滿足 則x2+y2的最大值是（ ）

A、4 B、9

C、10 D、12

解析x2+y2表示可行域內的動點（x，y）到原點O（0，0）距離的平方，可得x2+y2的最大值為10。故選C。

命題點睛 點點距離型實質就是動點與定點連線的長度。

變式探究1（點線距）：（2016年浙江卷文?4改編）

若平面區域

（1） 的最大值是 。

（2）的最大值是 。

答案：（1）（2）

3.向量數量積型（夾角型、投影型）

例5 （2016年浙江卷） 在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影。由區域中的點在直線x+y-2=0上的投影構成的線段記為AB，則|AB|（ ）。

A、 B、4

C、 D、6

答案：C

變式拓展2：（夾角型、投影型） 已知點A（3，1），O為坐標原點，點P（x，y）滿足則

（1） 的最小值是 。

（2） 的最大值是 。

（3） 的取值范圍是 。

解析 如圖2所示，（1）

當且僅當與 反向時，取等號;

（2）的最大值即在方向上的投影，為

（3）的最小值即在方向上的投影，為

其最大值即與共線時在方向上的投影，為，所以其取值范圍是

命題點睛 （1）中抓住定向量與動向量的夾角;（2）中抓住動線段OP在一條定直線OA上的投影;（3）與（2）正好反之。

圖2

4.直線與圓錐曲線相關位置型

圖3

例6 （2016年山東卷文?4改編） 設x，y滿足約束條件若Z=x2+4y2，則Z的取值范圍是 。

解析Z=x2+4y2表示中心在坐標

原點，焦點在x 軸上的橢圓，當此橢圓與直線x+y=1相切時，Z=x2+4y2最小，

由 得5y2-2y+1=0 ，由Δ=0

得 為最小值;當此橢圓過點 時，為最大值，故所求范圍是

圖4

命題點睛 圓錐曲線（動曲線）與一條定直線（或定點）的位置關系牽引出z的取值范圍，此題型新穎別致，賞心悅目，耐人尋味。

變式拓展3 設變量x，y滿足約束條件

其中k∈R，k>0.

篇10

教學重點

1.二元一次不等式(組)表示的平面區域;

2.應用線性規劃的方法解決一些簡單的實際問題。

教學難點

線性規劃在實際問題的應用

高考展望

1.線性規劃是教材的新增內容，高考中對這方面的知識涉及的還比較少，但今后將會成為新高考的熱點之一;

2.在高考中一般不會單獨出現，往往都是隱含在其他數學內容的問題之中，就是說常結合其他數學內容考查，往往都是容易題

知識整合

1.二元一次不等式(組)表示平面區域：一般地，二元一次不等式在平面直角坐標系中表示直線某一側所有點組成的__________。我們把直線畫成虛線以表示區域_________邊界直線。當我們在坐標系中畫不等式所表示的平面區域時,此區域應___________邊界直線，則把邊界直線畫成____________.

2.由于對在直線同一側的所有點，把它的坐標代入，所得到實數的符號都__________，所以只需在此直線的某一側取一個特殊點，從的_________即可判斷>0表示直線哪一側的平面區域

3.二元一次不等式組是一組對變量x,y的__________，這組約束條件都是關于x,y的一次不等式，所以又稱為_____________;

4.(a,b是實常數)是欲達到最大值或_________所涉及的變量x,y的解析式，叫做______________。由于又是x,y的一次解析式，所以又叫做_________;

5.求線性目標函數在_______下的最大值或____________的問題，統稱為_________問題。滿足線性約束條件的解叫做_________，由所有可行解組成的集合叫做_________。分別使目標函數取得____________和最小值的可行解叫做這個問題的___________.

典型例題

例1.(課本題)畫出下列不等式(組)表示的平面區域，

1)2)3)

4)5)6)

例2.

1)畫出表示的區域，并求所有的正整數解

2)畫出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)為頂點的的區域(包括各邊)，寫出該區域所表示的二元一次不等式組，并求以該區域為可行域的目標函數的最大值和最小值。

例3.1)已知，求的取值范圍

2)已知函數，滿足求的取值范圍

例4(04蘇19)制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現的虧損。某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資打算多少萬元，才能使可能的盈利最大?

例5.某人承攬一項業務，需做文字標牌4個，繪畫標牌6個，現有兩種規格原料，甲種規格每張3m，可做文字標牌1個，繪畫標牌2個;乙種規格每張2m，可做文字標牌2個，繪畫標牌1個,求兩種規格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最小?

例6.某人上午時乘摩托艇以勻速V海里/小時從A港出發到相距50海里的B港駛去，然后乘汽車以勻速W千米/小時自B港向相距300km的C市駛去，應該在同一天下午4點到9點到達C市。設汽車、摩托艇所需時間分別為小時，如果已知所要經費P=(元)，那么V、W分別是多少時走得最經濟?此時需花費多少元?

鞏固練習

1.將目標函數看作直線方程,z為參數時，z的意義是()

A.該直線的縱截距B。該直線縱截距的3倍

C.該直線的橫截距的相反數D。該直線縱截距的

2。變量滿足條件則使的值最小的是()

A.(B。(3，6)C。(9，2)D。(6，4)

3。設式中變量和滿足條件則的最小值為()

A.1B。-1C。3D。-3

4。(05浙7)設集合A={是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區域(不含邊界的陰影部分)是()

5。在坐標平面上，不等式組所表示的平面區域的面積為()

A。B。C。D。2